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 le plus belle égalité

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xor
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MessageSujet: le plus belle égalité   Ven 27 Juil 2018 - 19:38

https://www.youtube.com/watch?v=icij8EjisiM&t=398s


Les formules de Moivre sont issues de ce formalisme et m'ont permis de survivre à Maths sup - maths spé sans rien apprendre par coeur en trigonométrie.
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Tolé



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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Sam 28 Juil 2018 - 20:32

Jusqu'à la 6ème minute, ça va, après je décroche.
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 9:59

Au moins auras-tu appris qu'il est possible d'utiliser des puissances non entières. Elever à la puissance 1/3 correspond à extraire une racine cubique.

Je reconnais que la 2ème partie s'adresse à des gens ayant des bases mathématiques universitaires.

Il faut comprendre les nombres complexes (programme de terminale)... les nombres complexes sont les amis des ingénieurs..
Impossible de comprendre les systèmes pilotés sans bases sérieuses découlant des nombres complexes 5transformées de Fourier par exemple).

Moi, j'en étais resté à la notation e puissance i*theta = cos theta + i * sin theta

e puissance i*theta coorespond à une rotation de vecteur de theta

e puissance i*theta ° e puissance i*theta = e puissance i* 2 * theta

les rotations s'additionnent comme les puissances
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 10:03

e puissance i * pi correspond à une rotation de pi donc à un demi-tour , donc à -1
-1 + 1 = 0


e puissance i * 2 * pi correspond à deux demi-tours donc un tour, et vaut 1
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Tolé



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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 11:29

Bon on va commencer par lesnombres complexes.
J'ai trouvé une vidéo https://www.youtube.com/watch?v=ABo2m52oEYw
Super bien expliqué. j'en suis à module et argument. La suite pour plus tard !
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 13:06

Oui, tu apprendras que la multiplication de 2 nombres complexes équivaut à multiplier leurs modules et à additionner leur argument.

Bref une multiplication dans le plan complexe correspond à une homothétie combinée à une rotation.
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Tolé



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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 14:26

Oh la oh la comme tu y vas !!!! On se calme !!! On va y aller par épisodes... mais c'est vrai que c'est sympa tout ça.
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 16:53

Fastoche.

Z1 = 4 + 3i
son module !Z1! vaut racine (4^2 + 3^2)= 5 et son argument
son argument , arcsinus(4/5)= 0,927295218 rd soit 53,13010235 degrés

Z2 =3 + 4i
son module !Z2! vaut racine (3^2 + 4^2)= 5 et son argument
son argument , arcsinus(3/5)= 0,643501109 rd soit 36,86989765 degrés


Z1 * Z2
a un module de 5 * 5 = 25
et un argument de 90°

c'est à dire qu'il s'agit d'un imaginaire pur de longueur 25
Z1*Z2 = 25i

Verifions

Z1*Z2 = (3+4i)*(4+3i)= 12 + 9i +16i + 12i^2
= 25i + 12 * (1+i^2) = 25i

Arrgument = Arsin(25/25) = Arsin(1) = 90 = 53,13 + 36,87

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Tolé



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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 17:47

Fastoche, fastoche... encore faut-il comprendre le sens des mots. en fait à la minute  (5,30) le tableau des propriétés... j'ai mieux compris avec ça :
affixe
• Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l'image du nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l'affixe du point M.

• L'affixe du vecteur {AB}} est le nombre complexe zB − zA.

• L'affixe du milieu du segment [AB] est la demi-somme des affixes des points A et B.

Bon, ok j'ai compris. Le tableau je le trouvais complique, mais ça y est j'ai compris.
*
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Dim 29 Juil 2018 - 21:16

la compréhension des complexes est le préalable à la compréhension de l'espace de Mandelbrot....
L'idée de Mandelbrot est dingue...
Il étudie la suite zn+1 = zn ^2 + C.
On z0 = 0 + 0*i = 0
z1 = c
z2 = c^2 +c
z3 = (c^2 +c)^2 +C
etc...
C est une valeur du plan complexe choisie et vaut a +ib et on fait varier a et b dans le plan;

la valeur retournée par la énième itération n'a aucun intérêt... Ce qu'on surveille c'est la vitesse de convergence.
C'est à dire qu'on veut savoir si après 5,6,7 itérations si le module reste stable...(la valeur du module atteint sa limite à 1/100O près par exemple)
En fonction de la vitesse de convergence on allume le point (a,b) représentant la valeur de C d'une certaine couleur...bleu pour 5 , vert pour 6, etc... noir quand la suite diverge (pas de valeur limite)
puis on refait le calcul pour le point voisin (a+0,000001, b), etc...

ça fait bcp de calculs mais les figures dessinées sont fantastiques et rendent bien compte de la richesse des complexes.
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xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Lun 30 Juil 2018 - 15:52

https://www.youtube.com/watch?v=9gk_8mQuerg&t=337s

Cette video montre bien l'aspect chaotique de l'espace de Mandelbrot.
Plein de gens ont étudié cet espace comme par exemple les réalisateurs de ce film
https://www.youtube.com/watch?v=0jGaio87u3A

on y voit la descente en précision sur un point du plan complexe avec 915 grossissements par 2.
Bref, la dernière image montre simplement l'environnement autour d'un point a + ib avec a et b donnés avec une précision à plus de 200 décimales.

Le point choisi est un des nombreux points où le voisinage de la suite z(n+1 ) = z(n)*z(n) + C est chaotique.

Dans la première video le monsieur chauve explique une variante de l'espace de Mandelbrot.
On effet en général on s'intéresse à la vitesse de convergence .... Si on s'intéresse à la divergence et à la vitesse d'explosion de la suite on obtient une autre figure, tout aussi inquiétante... The darkside of Mandelbrot.
Notre ami chauve déploie alors tout son humour germanique (il parle anglais avec un gros accent rhénan) en évoquant le Bouddhabrot.
Kolossale finesse ....

La divergence est mesurée par le nombre d'itération qu'il faut pour que le module de z(n+1) soit plus grand que 2.




y = x2 est une parabole et l'explication de notre allemand avec sa parabole qui coince les itérations est formidable.

PS / je suis certain que si Poincaré avait pu voir ces images, il aurait pu trouver la solution de l'hypothèse de Riemann (certainement le problème le plus ardu de la liste des pbs du millenium)
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Tolé



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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Lun 30 Juil 2018 - 18:38

Ce sont des fractales...
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Xor
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   Lun 30 Juil 2018 - 20:50

Pseudo fractales ... car il n’y pas de pure homothétie contrairement à la courbe de Koch
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MessageSujet: Re: le plus belle égalité   

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